Kryteria wytrzymałościowe statyczne

Kryterium wytrzymałościowe:

Zakładając odpowiednie warunki pracy (warunki eksploatacji), niezbędnym elementem projektowania jest przeprowadzenie obliczeń wytrzymałościowych w celu zapewnienia bezpiecznej pracy maszyn.

Najczęściej stosowane obliczenia stosowane ze względu na:

            – naprężenia dopuszczalne

            – stateczności

            – pełzanie

            – zmęczeniowe

            – odkształcenia, przemieszczenia

            – obliczenia sztywności

            – naprężeń cieplnych

Obciążenia:

Obciążenia to siły i momenty, które występują przyłożone do elementów maszyny. W celu uproszczenia obliczeń i zastosowania odpowiednich kryteriów wytrzymałościowych sprowadza się je do środka ciężkości analizowanego przekroju niebezpiecznego. Takie sprowadzone siły nazywamy obciążeniami elementarnymi.

Obciążenia dzielimy na :

– rozciągające

– ściskające

– ścinające

– zginające

– skręcające

Ponadto mogą one być :

– statyczne

– dynamiczne

Obciążenia P, przyłożone do elementu konstrukcji o polu przekroju F, wywierają ciśnienie na owy materiał generując naprężenia:

Popularne w internecie zdjęcie obrazujące rozkład naprężeń na linijce.

Naprężenia możemy podzielić na:

Naprężenia normalne:

Dla przypadku rozciągania/ściskania:

Naprężenia rozciągające/ściskające

Dla przypadku zginania:

Naprężenia zginające

Naprężenia styczne

Dla przypadku ścinania

– Naprężenia tnące: zwykłe (uśrednione) w zastosowaniach inżynierskich

Rysunek przekrojów belki, jak się rozchodzą naprężenia styczne

Dla przypadku skręcania :

 

Skręcanie okrągłego pręta.

Naprężenia skręcające:

Naprężenia skręcające w przekroju kołowym.

Naprężenia skręcające w przekroju prostokątnym

W przekroju prostokątnym – zasada wirowych naprężeń. Aby wyobrazić sobie naprężenia skręcające należy wyobrazić sobie naprężenia jako płyn w naczyniu o przekroju naszego pręta/belki. Płyn wirujący w takim naczyniu największe prędkości (przy czym największą energię), dla przekroju prostokątnego, osiągnie dla środka dłuższych boków przekroju. W miejscach rogów owego przekroju będą tak zwane miejsca stagnacji w której energia będzie maleć – w mechanice płynów, maleć na rzecz wirów. Dlatego analogia jest całkiem słuszna gdyż oddaje istotę zjawiska.

Naprężenia skręcające w wale wydrążonym

Naprężenia stykowe:

W punktach styków dwóch powierzchni, pole owego styku zazwyczaj jest bardzo małe – np. w przypadku pola styku kul łożysk z pierścieniem łożyska. W takich punktach naprężenia mają charakter naprężeń normalnych i zazwyczaj dochodzą do bardzo wysokich wartości – setki MPa.

Rozkład naprężeń kontaktowych dla dwóch kul.

Naprężenia nominalne– to maksymalne naprężenia obliczone lub doświadczalnie wyznaczone, bez uwzględnienia ich spiętrzenia.

Naprężenia rzeczywiste – to maksymalne naprężenia obliczone lub doświadczalnie uwzględniające spiętrzenie naprężeń.

 

Karby i napiętrzenia  – zjawisko spiętrzenia naprężeń

Rysunek karbów i spiętrzenia naprężeń

Hipotezy wytrzymałościowe

            Potrzeba formułowania hipotez wytrzymałościowych bierze się stąd, że w budowie maszyn i konstrukcji nie występują tylko obciążenia proste, ale także stany obciążeń złożone. Uzmysłowienie sobie tego problemu stworzyło potrzebę ustalenia kryteriów oceny stanu wytężenia danego materiału.

Najpopularniejszym kryterium oceny jest formułowanie naprężenia zastępczego. Polega na zastąpieniu złożonego stanu naprężeń naprężeniem pojedynczym zastępczym, który dla potrzeb obliczeń inżynierskich przyjmuje się, że efekt działania tego naprężenia (zastępczego) jest równoważny działaniom wszystkich naprężeń niezredukowanych. Zazwyczaj więc wytrzymałościowe obliczenia elementów, sprowadzają się do wyznaczenia Δρ oraz porównaniu ich z naprężeniem dopuszczalnym kdop [MPa] dla danego jednoosiowego stanu naprężeń.

 W celu odniesienia naprężenia dopuszczalnego dla jednoosiowego stanu naprężeń, do warunków naprężeń złożonych, stosuje się odpowiednie współczynniki redukcyjne (poniższa tabela) 

Ponadto ważny także jest współczynnik bezpieczeństwa x określający, jak wiele o materiale nie wiemy i jak duży „zapas dopuszczalnego naprężenia” ze względu na tę niewiedzę chcemy zostawić. Współczynnik X przybiera różne wartości, zazwyczaj w granicach 2-3, w przypadku lin i dźwigów ok. 12-15, możemy wyznaczyć go ze wzoru:

W takim wypadku da się sformułować ogólny warunek wytrzymałościowy :

 

 

 

 

Hipoteza największych naprężeń normalnych σmax

Hipoteza ogłoszona przez Rankine’a. Ta hipoteza mówi nam, że o wytężeniu materiału decyduje największe naprężenie normalne występujące w najbardziej zagrożonym punkcie ciała.

Załóżmy że powstanie odkształceń plastycznych równoważne jest ze zniszczeniem materiału konstrukcyjnego. W myśl tej hipotezy, jeśli kostkę elementarną (sześcienną) poddamy statycznej próbie rozciągania i naprężenia w kierunku działania sił będą największe, to naprężenia rozciągające w innych kierunkach nie będą brały udziału w zniszczeniu próbki. Co jest oczywiście nieprawdą, jednak hipoteza ta jest stara i obecnie znajduje zastosowanie jedynie w niektórych przypadkach materiałów kruchych np. dla betonu.

 

Hipoteza największego wydłużenia względnego de Saint-Venanta

Hipoteza mówi, że w kostkach o tych samych odkształceniach względnych, bez względu na naprężenia na owych kostkach, wytężenie będzie takie samo tak długo, jak odkształcenia będą sobie równe.

Dla przypadku próby rozciągania:

Dla kostki poddanej rozciąganiu o naprężeniach σ123:

Porównując oba wzory, które w myśl tej hipotezy są sobie równoważne:

Hipoteza ta εmax, daje znacznie lepsze pokrycie z próbami rzeczywistymi niż hipoteza σmax.

 

Hipoteza największych naprężeń tnących Coulomba

Hipoteza mówi iż o zniszczeniu materiału nie świadczy przekroczenie naprężeni plastycznych normalnych lecz to, że naprężenia styczne osiągają wartość krytyczną. Tak dla zwykłej próby rozciągania analogicznie nie świadczy osiągnięcie σpl  lecz przekroczenie τmax , które dla zwykłej próby rozciągania wynosi:

W trójkierunkowym stanie naprężeń (naprężenia z każdej strony kostki elementarnej) gdy σ123 ,największe naprężenia styczne powstają w przekroju nachylonym pod kątem 45, odpowiada to promieniowi największego koła Mohra:

Wówczas niebezpieczny stan naprężeń gdy σ123:

Hipoteza ta jest często wykorzystywana i daje dobrą zbieżność z doświadczeniami, szczególnie dla materiałów plastycznych.

Hipoteza Hubera

Hipoteza głosi, że zniszczeniu próbki odpowiada nie energia, która zostaje przekonwertowana na odkształcenie objętościowe, lecz ta część, która powoduje odkształcenie postaci. Dlatego statki na dnie oceanów zachowują swój kształt mimo naprężeń znacznie przekraczających naprężenia plastyczne.

Stąd też kostka która zostaje poddana trójkierunkowemu ściskaniu lub zgniataniu jednakowymi naprężeniami p doświadcza jedynie odkształceń objętościowych.

Energia natomiast wynosi :

Zatem energia odkształcenia objętościowego:

Energia całkowita sprężystości kostki (z prawa Hook’a):

Podstawiając różne warunki brzegowe- różne wartości poszczególnych naprężeń- otrzymamy

Praktyczne wykorzystanie hipotez wytrzymałościowych

Hipotez wytrzymałościowych jest wiele, jednak żadna z nich nie opisuje w pełni zjawiska oraz nie daje jednoznacznych wyników. W przeciwnym razie stworzona zostałaby teoria wytrzymałości materiałów. Hipotezy natomiast przybliżają dane zagadnienie dla określonych warunków. Z uwagi na fakt, iż materiały różnią się ze sobą właściwościami, takimi jak wytrzymałość na rozciąganie, twardość, czy chociażby anizotropowość. Z uwagi na przytoczone fakty, każda hipoteza opiera się na innych założeniach, co wpływa znacząco na parametr σz.

Najczęściej w konstrukcji maszyn stosuje się hipotezę Maxwell’a-Hubera- Hanecky’ego -von Mises’a. Wynika to stąd, że materiały stosowane w budowie maszyn mają właściwości materiałów sprężysto(elasto)-plastycznych (stal, żeliwa, stopy metali). Jest to hipoteza największych energii odkształceń plastycznych. Analitycznie więc można ją ująć dla złożonego stanu naprężeń:

Hipoteza Coulomba-Tresci-Guesta

-Inaczej Hipoteza największych naprężeń stycznych:

Hipoteza Największego naprężenia normalnego:

            – Stosowana najczęściej w przypadku materiałów sprężysto kruchych, w tej hipotezie pomijamy naprężenia styczne

Najważniejsze w budowie maszyn jest określenie, kiedy tak właściwie dana część ulega uszkodzeniu. W przypadku elementów, w których zależy nam na przewidywalności ich zachowania, chcemy aby parametry były stabilne w warunkach pracy. Takie warunki daje nam praca w granicach liniowej sprężystości materiału. Oznacza to, że rozsądnym momentem „uszkodzenia” części jest wykroczenie materiału pod wpływem obciążeń poza granicę plastyczności. Upraszczając, nie pozwalamy aby materiał stał się plastyczny dla zadanych parametrów pracy. Stąd też w przypadku przekroju gdzie naprężenia główne występują tylko pierwszego rodzaju (naprężenia międzystrefowe, tj. powstające między poszczególnymi strefami przekroju i między częściami wyrobu), należy wyznaczać naprężenia dopuszczalne k dla granicy plastyczności tego samego rodzaju co wyznaczane naprężenia.

To znaczy :

            Granica plastyczności (Re) na zginanie – Reg

            Gdanica plastyczności(Re) naprężeń stycznych (skręcanie,ścinanie)-Res,t

            Granica plastyczności na ściskanie (Re)- Re­­c

Gdy w danym przekroju, rozkład naprężeń (rys.) pokazuje, że naprężenia styczne się „minusują”: